Se usate le barbabietole fresche, lavatele bene e pulitele togliendo le foglie e sbucciandole. Tagliatele a pezzetti. Lavate e sbucciate la patata. Tagliatela a pezzetti. In un pentolino con 1-2 cucchiaio di olio, soffriggete la cipolla finchè sarà dorata e unite le barbabietole e la patata. Fate insaporire mescolando per un paio di minuti. Aggiungete il brodo e cuocete per 30-40 minuti, finchè le verdure saranno tenere. Se usate le barbabietole precotte, dimezzate i tempi di cottura. Nell'attesa, preparate le cialdine di Parmigiano. Come prima cosa, prendete la carta da forno e ritagliate dei quadrati di circa 20 cm, sui quali metterete al centro un cucchiaio generoso di Parmigiano grattugiato. Con il dorso del cucchiaio, appiattite delicatamente il formaggio. Mettete i fogli di carta nel forno caldo a 180° o nel microonde, fin quando il Parmigiano comincerà a sciogliersi. Togliete i fogli dal forno quando le cialdine diventeranno appena dorate. Fate raffreddare completamente prima di staccarle dalla carta da forno. Quando le verdure saranno cotte, frullatele insieme allo yogurt. Regolate di sale. Impiattate la vellutata calda, facendo con il sac à poche (con un beccuccio stretto) delle decorazioni con lo yogurt. Unite le noci spezzettate grossolanamente con le mani e servite con le cialdine di Parmigiano.